E. Schrödinger. Über den Comptoneffect.

  

Nach der Wellentheorie des Lichtes lassen sich bekanntlich alle Änderungen der Frequenz und der Wellennormale auf Grund sehr einfacher und allgemeiner Betrachtungen über die Phase vorhersagen, ohne auf irgendwelche Details des Vorgangs einzugehen. Ich denke an Überlegungen von der folgenden Art: eine Lichtwelle mit der Phase

  2πν [t – (n/c) αx + ßy+ γz)]

falle aus der Richtung der positiven z auf die zy-Ebene, welche die Trennungsfläche zweier Medien mit den Brechungsindizes n (für z > 0) und n' (für z < 0) bilde. Setzt man die gebrochene Welle an mit der Phase

2πν' [t – (n'/c)( α'x + ß'y+ γ'z)+δ]

und verlangt für  z = 0  eine konstante, das heißt von x, y, t   unabhängige Phasendifferenz, so ergibt sich

v' = v,     n'α' = n α ,     ri ß' = n ß

d. h. die Snelliussehen Brechungsgesetze.

 

Die Schlußweise, ist so allgemein, daß sie z. B. unverändert auch für Kristalle gilt. Sie ist auch ohne weiteres auf bewegte Trennungsflächen übertragbar. Ein detaillierteres Eingehen auf den elektromagnetischen Vorgang wird immer erst nötig, wenn man sich auch für die Intensitäten interessiert (Fresnelsche Reflexions-formeln).

 

 

(1)                    2A sin θ = λ

für Reflexion erster Ordnung ( =λ, nicht  = k λ) besteht. Dies ist angenähert gesprochen, sofern man die Lichtgeschwindigkeit als sehr groß ansehen kann gegen die Schallgeschwindigkeit. Genauer gesagt verhält es sich wie an einem bewegten Spiegel: der Reflexionswinkel ist dem Einfallswinkel nicht genau gleich, der Lichtstrahl erleidet Dopplerverschiebung, und auch (1) ist so zu korrigieren, wie es für einen bewegten Kristall der Fall wäre".

 

Diese Sätze sind einer älteren Arbeit entnommen  [3] , in welcher sodann mit Befriedigung festgestellt wird, daß das Brillouinsche Resultat sich auch aus der Annahme eines quantenhaften Energie- und Impulsaustausches zwischen den beiden Wellen gewinnen läßt. Man war damals eben der Meinung, daß unsere ganze Naturerklärung ia letzter Linie auf solchen Quantenbilanzen aufbauen müsse und freute sich jedesmal, wenn ein vertrauenswürdiges klassisches Resultat sich mühelos von der alten auf die neue Basis herüberschieben ließ. Wir gehen jetzt sozusagen  den umgekehrten Weg. Wir zeigen, daß sich in enger Anlehnung an das oben genannte Brillouinsche Resultat eine wellenmechanische Deutung der Oomptonschen Beziehungen geben läßt, welche nicht minder einfach ist als die quantenmäßige Impuls-Energiebetrachtung. 

   

Eine ebene Sinuswelle

(2)  ψ ~ exp(2πi/h)[hνt – (h/c) (αx + ßy+ γz) √(ν² – νo²)

wobei 

(mo= Ruhmasse des Elektrons, h = Planckkonstante, c = Lichtgeschwindigkeit),

 

 

und gehört nach de Broglie zu einem Elektron, das mit der Energie hv in der Richtung a, ß, γ  bewegt ist. Daraus errechnet man in bekannter Weise, daß

der Vierervektor „Energie-Impuls" des korrespondierenden Elektrons ist. Vom Standpunkt der Welle wollen wir ihn als „Vierervektor Ausbreitung“  bezeichnen, und zwar wollen wir mit diesem Ausdruck belegen die Koeffizienten von ct, – x, –y, –z  in der-Phase  (uach Ablösung des Faktors 2π/h)   f ür eine ganz beliebige ebene Sinuswelle, sei es ψ-Welle, sei es Ätherwelle, sei es sonst etwas. „Ausbreitung" ist also ein rein wellen-kinematischer Begriff und hat die Komponenten

 

(3)     (h/c)∙Frequenz,   hα/Wellenlänge, hβ/Wellenlänge,   hγ/Wellenlänge

 

    wenn a, ß, γ die Richtungskosinus der Wellennormale. Für eine Ätherwelle fällen diese Größen ebenfalls mit den quantentheoretischen Werten von Energie und Impuls zusammen. Doch sollen diese Hinweise auf Quantengrößen nur dazu dienen, uns hinterdrein die Identifizierung unseres Resultats mit dem Comptonsehen zu erleichtern – wir operieren mit dem rein wellenkinematischen Begriff (3) der Ausbreitung.  Unter dem  Dreiervektor Ausbreitung verstehen wir natürlich die Projektion auf den Raum, d. b. den Vektor (3) unter Fortlassung der ersten Komponente.

 

 

(4)                   D = A - A'

 

Diese Dichteicelh ist es nun, welche an die Stelle der Schallwelle bei Brillouin tritt. Wenn wir die Annahme machen, daß an ihre eine Lichtwelle als an einem bewegten Spiegel, jedoch unter Erfüllung des Braggschen Gesetzes, gespiegelt wird, dann stehen, wie wir zeigen werden, unsere vier Wellen: die beiden ψ -Wellen A und A' und die einfallende und die gespiegelte Lichtwelle genau in der Comp ton sehen Beziehung. Der Unterschied gegenüber dem Brillouinschen Fall der Reflexion an einer Schallwelle ist'nur ein quantitativer, sofern die Geschwindigkeit unserer Dichtewelle D im allgemeinen nicht klein ist gegen die Lichtgeschwindigkeit; vielmehr können beliebige Werte bis zur Lichtgeschwindigkeit auftreten (aber niemals Überlichtgeschwindigkeit, was man leicht nachrechnet).

 

Der Beweis unserer Behauptung ist leicht zu erbringen. Wir brauchen nämlich gar nicht wirklich die Reflexion am bewegten Spiegel zu untersuchen. Da alle vier Wellen und natürlich auch ihre Ausbreitungsvektoren gegen Lorentztrans-formation invariant sind, können wir durch eine solche die Dichte welle auf Ruhe transformieren. Die erste (zeitliche) Komponente ihres Ausbreitungsvektors wird dann Null. Ferner ändern sich dann Frequenz (und Wellenlänge) der Lichtwelle bei der Reflexion nicht, d. h. die zeitliche Komponente ihres Ausbreitungsvektors bleibt bei der Reflexion ungeändert. Endlich gilt die Braggsche Beziehung genau in der Form (1), wenn λ die Wellenlänge der Lichtwelle, A diejenige der Dichtewelle, θ den Glanzwinkel bezeichnet. Sie läßt sich in die Gestalt bringen:

 

(5)             (2h/λ) sin θ = h/A

 

welche wir durch beistehende Fig. 1 erläutern, in der auch die Gleichheit des Reflexionswinkels mit dem Einfallswinkel berücksichtigt ist.

 

(6)                L + D = L'

welche nun für ein beliebiges vierdimensionales Koordinatensystem Geltung haben muß.   Mit (4) kombiniert ergibt sie

(7)               L + A = L' + A'

Mit Rücksicht auf die Bedeutung der Komponenten von L,L'  nach der Lichtquantenauffassung und derjenigen von A, Ä nach der de Broglieschen Zuordnung von ψ -Wellen zu Elektronen stimmt Gleichung (7) genau mit dem Ansatz der Compton sehen Energieimpulstheorie des Comptoneffekts überein.

 

Ganz interessant ist es, die volle Reziprozität zwischen  den  ψ -Wellen einerseits und den Lichtwellen anderseits zu beachten. Die Erscheinung ließe sich ganz ebensogut auffassen als Braggsche Reflexion einer Welle an dem von zwei sich kreuzenden Lichtwellen erzeugten System vou Interferenzfransen. In dem oben benützten ausgezeichneten Koordinatensystem ruht dasselbe und ist identisch mit 0. Wieners System stehender Lichtwellen. Die Beziehungen (4) und (6) sagen aus, daß das Interferenzfransensystem, und  die Dichtewelle koinzidieren, beide haben den Ausbreitungsvektor D. Das ausgezeichnete Koordinatensystem ist genau dasjenige, welches  W. P a u l i [8] einmal zum Studium des Comptoneffekts als das bequemste befunden hat.

 

 

 

Einem begrifflichen Einwand möchte ich noch begegnen. Man könnte sagen: ja aber, das primär Gegebene beim Comptoneffekt ist doch eine Lichtwelle nnd ein in bestimmter Weise bewegtes Elektron, also, sagen wir, eine ψ-Welle; wo kommt denn zunächst einmal die  zweite, passend ausgesuchte  ψ-Welle  her, welche mit der vorgegebenen zusammen einen passenden „Braggschen Spiegel" für die vorgegebene Lichtwelle bilde?

 

— Darauf ist zu erwidern, daß zur Beantwortung solcher Fragen solch einfache Phasenüberlegungen, wie wir sie hier angestellt haben, natürlich absolut nicht hinreichen können. Wir studieren damit sozusagen das Comptonphänomen in stationärem Betrieb, wobei beständig die primäre Welle cLer einen Art durch Beflexion an dem Interferenzfransensystem der anderen Art in sekundäre Welle umgesefzt wird und vice-versa. Wir verfahren ganz genau so bei den analogen Überlegungen in der Optik, sogar dann, wenn wir dieselben viel genauer an Hand einer detaillierteren Theorie studieren. Auch da untersuchen wir im allgemeinen nicht das erstmalige Auftreten z. B.. einer reflektierten und einer gebrochenen Welle am Wellenkopf der Primärwelle, sondern wir machen einen Ansatz rjicht bloß für die einfallende, sondern ebenso für alle anderen Wellen, deren Auftreten sich voraussehen läßt, und versuchen durch diesen Ansatz einen stationären Zustand darzustellen, welcher allen zu stellenden Anforderungen genügt

Zürich, Physikalisches Institut der Universität.